Núi Lửa Hình Nón

Một số vụ núi lửa phun nổi bật trong năm qua có thể kể đến núi lửa Sinabung và Agung ở Indonesia, núi lửa Shiveluch ở Nga, Villarrica ở Chile, Turrialba ở Costa Rica, Kilauea ở Hawaii, Popocatepetl và Volcán de Colima ở Mexico, Bogoslof ở Alaska, Manaro Voui ở Vanuatu…

Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí $A$ và dừng ở vị trí $B.$ Biết rằng người ta chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ $A$ đến $B,$ đoạn đường đầu là phần lên dốc từ $A$ và đoạn sau sẽ xuống dốc đến $B.$ Tính quãng đường xuống dốc từ $A$ đến $B.$

*Bài toán tính quãng đường khó nhất trong đề thi đại học năm 1997 ở Hàn Quốc (CSAT)

Giải. Gọi đỉnh nón là $S.$ Cắt mặt xung quanh của hình nón theo đường sinh $SA$ và trải lên một mặt phẳng thu được hình quạt tâm $S,$ bán kính $R=SA=60.$

Chu vi đường tròn đáy của hình nón là $2\pi r=40\pi .$ Do đó góc ở đỉnh của hình quạt là $\dfrac{{40\pi }}{{2\pi R}} \times {360^0} = \dfrac{{40\pi }}{{120\pi }} \times {360^0} = {120^0}.$

Quãng đường ngắn nhất chính là độ dài $AB$ trên hình vẽ và bằng

$AB=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-2SA.SB.\cos \widehat{ASB}}=\sqrt{{{60}^{2}}+{{50}^{2}}-2.60.50.\left( -\dfrac{1}{2} \right)}=10\sqrt{91}.$

Ta cần xác định đỉnh dốc: Đỉnh dốc sẽ cách đỉnh $S$ của hình nón một đoạn ngắn nhất nên đỉnh dốc chính là chân đường cao hạ từ $S$ xuống $AB.$

Độ dài đoạn xuống dốc là $x=HB$ theo pitago có:

$\left\{ \begin{gathered} S{H^2} + H{B^2} = S{B^2} \hfill \\ S{H^2} + H{A^2} = S{A^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} S{H^2} + {x^2} = {50^2} \hfill \\ S{H^2} + {(10\sqrt {91} - x)^2} = {60^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {x^2} - {\left( {10\sqrt {91} - x} \right)^2} = {50^2} - {60^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{400}}{{\sqrt {91} }}.$ Chọn đáp án D.

Giỏ hàng của bạn chưa có sản phẩm nào